Aqui está uma pergunta aparentemente simples: o que é um vetor? A maioria das pessoas com um nível de matemática ou física do ensino secundário responderá que é uma quantidade que tem uma direção e uma magnitude. Comparam-nos com os escalares, que têm apenas uma magnitude, mas não têm direção.

Se pedir a alguém da informática para lhe dar uma definição de vetor, essa pessoa poderá responder que é semelhante a uma lista – uma quantidade que tem coordenadas, semelhante a um n-tuplo.

Adivinhe? Ambas as definições estão erradas! A definição “real” de um vetor é muito mais abstrata, mas muito mais libertadora. A primeira vez que ouvi a definição real de um vetor, fiquei super entusiasmado com a quantidade de liberdade que a definição permite. Quero partilhar algum do meu entusiasmo consigo!

Em matemática, é frequente que as definições girem em torno de um caso especial exemplar da definição. Para vectores, as tradicionais setas apontadas com que muitos estão familiarizados podem ser interpretadas como o caso especial exemplar, mas NÃO como a única possibilidade.

Antes de lhe dar a definição de vetor, vamos tentar categorizar algumas das propriedades dos “vectores”. Mais uma vez, caraterizar conceitos familiares em termos das suas propriedades e utilizar essas propriedades como uma definição é um procedimento comum em matemática.

A primeira vez que encontrei “vectores” foi como uma quantidade com uma magnitude e uma direção. Podemos representar isto como linhas num plano: da seguinte forma:

Se concordarmos em desenhar a seta a partir da origem e a apontar para fora, podemos representar o vetor como um ponto – neste caso, como o ponto (1, 1). Agora temos claramente uma grandeza: é o comprimento da reta. Usando o teorema de Pitágoras, descobrimos que é a raiz quadrada de 1² +1² = 2 que é aproximadamente 1.414…

Também tem uma direção: está a subir 45º do x-eixo.

Também podemos adicionar dois vectores. Se pensarmos neles como pontos, podemos adicioná-los por coordenadas. Ou seja, se pudermos adicionar (a, b) e (c, d) como se segue:

Para visualizar isto em termos da nossa seta, juntamos a cauda de um vetor à cabeça do outro e desenhamos um novo vetor da cauda à cabeça. Assim: